be bound in honour to do smth.

(be bound in (или be on или upon one's) honour to do (to say, etc.) smth.)

считать делом чести сделать (сказать и т. п.) что-л., считать своим моральным долгом сделать (сказать и т. п.) что-л

Now, don't forget, you're on your honour to be absolutely quiet until Miss Jones gets back. (ODCIE) — Не забудьте, вы обязаны до прихода мисс Джонс соблюдать абсолютное спокойствие.